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$Hayashi-Hana^2$

这是哪？ Hayashi-HanaHana

这是哪？

$Hayashi-Hana^2$

这是哪？

不知道耶🤔

$Hayashi-Hana^2$

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是苹呆

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HayashiHana²

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HayashiHana²个人的杂货间

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立花北枝

さびしさや
一尺消えて
ゆくほたる

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reference

你说得对，但是《xx》^[1]undefined参考资料是xxx^[2]undefined参考资料自主开发的一款全新开放世界冒险游戏。游戏发生在一个被称作「xx」^[2]提瓦特参考资料的幻想世界，在这里，被神选中的人将被授予「xx」^[3]undefined参考资料，导引元素之力。你将扮演一位名为「xx」^[4]undefined参考资料的神秘角色，在自由的旅行中邂逅性格各异、能力独特的同伴们，和他们一起击败强敌，找回失散的亲人——同时，逐步发掘「xx」^[5]undefined参考资料的真相。

text

重点

这里是重点文本的演示案例。

注记与增订

划线！划线！全划完就等于我会了！

~~划线！划线！~~全划完就等于我会了！

注音

椎名真昼しいなまひる

7.(正规基定理)若 $E/F$ 为有限Galois扩张,则存在 $a\in E$ 使得

$\{\sigma(x):\sigma\in G\}$

是 $E$ 作为 $F$ 的线性空间的一组基.

证明

只证 $k$ 无限的情况.

设 $Gal(E/F)=\{\sigma_1,\dots,\sigma_n\}$ .对任意 $x\in E$ ,若存在 $a_i\in F$ 使得

$a_1\sigma_1(x)+a_2\sigma_2(x)+\cdots+a_n\sigma_n(x)=0$

则令 $\sigma^{-1}_i(i=1,\dots,n)$ 作用在上式,因此得到一个线性方程组 $BA=0$ ,其中 $B=(\sigma^{-1}_i\sigma_j(x)),A=(a_i)^T$ .下面我们只需找到一个 $x$ 使得 $|B|\neq 0$ 也就是 $B$ 可逆,如此我们就能得到 $a_i=0$ .

定义

$f(X_{\sigma_1},\dots,X_{\sigma_n})=det(t_{\sigma_i,\sigma_j})$

其中

$t_{\sigma_{i},\sigma_{j} }=X_{ \sigma^{-1}_{i}\sigma_{j} }$

取 $X_{id}=1$ 其余为 $0$ , 则 $f\neq 0$ . 对任意 $x\in E$ 取 $X_i=\sigma_{i}(x)$ , 注意 $f$ 是 $\sigma_{i}$ 的线性组合, 因此由Dedkind-Artin特征标定理知存在 $x\in E$ 使得

$f(\sigma_1(x),\dots,\sigma_n(x))\neq 0$

取 $G$ 作用到这个 $x$ 的集合,就是一组正规基.我们完成了证明.